ضرب داخلی دو بردار

1) اگر \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) دو بردار غیر صفر و زاویه بین آنها \(\left( {0 \le \theta \le 1} \right)\;\;\theta \)  باشد، در این صورت ضرب داخلی \(\mathop a\limits^ \to \) در \(\mathop b\limits^ \to \) با علامت \(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \left| a \right|\left| b \right|\cos \theta \)

2) اگر \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  دو بردار در فضای \({R^3}\)  باشند، در این صورت ضرب داخلی \(\mathop a\limits^ \to \) در \(\mathop b\limits^ \to \) را با علامت \(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

1) چون حاصل ضرب داخلی دو بردار یک عدد حقیقی است به آن ضرب اسکالر یا ضرب عددی نیز می گویند.

2) اگر یکی از دو بردار a یا b یا هر دو برابر بردار صفر باشند، حاصل ضرب داخلی آنها صفر می باشد.

\(\mathop a\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \; \vee \;\mathop b\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \; \Rightarrow \;\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = 0\)

عکس رابطه درست نیست.

3) ضرب داخلی دو بردار خاصیت جا به جایی دارد.

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop b\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to \)

4) برای هر دو بردار a و b و هر عدد حقیقی m داریم:

\(m\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times m\mathop b\limits^ \to = m(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to )\)

5) حاصل ضرب داخلی هر بردار در خودش برابر است با مجذور اندازه آن بردار:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = \left| a \right|\left| a \right|\cos 0 = {\left| a \right|^2}\)

6) اگر دو بردار بر هم عمود باشند، حاصل ضرب داخلی آنها صفر است و بر عکس:

\(\mathop a\limits^ \to \bot \mathop b\limits^ \to \Leftrightarrow \mathop b\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = 0\)

7) ضرب داخلی بر روی جمع بردار ها، خاصیت توزیع پذیری (پخش) دارد.

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to + \mathop c\limits^ \to ) = \mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \\\\\mathop {(a}\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to ) \times \mathop c\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \end{array}\)

دو بردار غیر صفر \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) را که زاویه بین آنها \(\theta \) است در نظر می گیریم. تصویر قائم بردار \(\mathop a\limits^ \to \) روی بردار \(\mathop b\limits^ \to \) را با بردار \(\;\mathop {a'}\limits^ \to \;\)  نشان داده و از فرمول زیر محاسبه می کنیم:

\(\;\mathop {a'}\limits^ \to \; = \frac{{\;\mathop a\limits^ \to \; \times \;\mathop b\limits^ \to \;}}{{|b{|^2}}}\; \times \mathop b\limits^ \to \;\)